Реологическое моделирование биотканей
Реология - это наука о деформациях и текучести вещества.
Упругие и вязкие свойства тел легко моделируются.
Представим некоторые реологические модели.
а) Модель упругого тела - это упругая пружина.
Напряжение, возникающее в пружине, определяется законом Гука:
Если упругие свойства материала одинаковы во всех направлениях, то он называется изотропным, если эти свойства неодинаковы - анизотропным.
б) Модель вязкой жидкости - это жидкость, находящаяся в цилиндре с поршнем, неплотно прилегающим к его стенкам или: - это поршень с отверстиями, который движется в цилиндре с жидкостью.
Для этой модели характерна прямо пропорциональная зависимость между возникающим напряжением σ и скоростью деформации
где η - коэффициент динамической вязкости.
в) Реологическая модель Максвелла представляет собой последовательно соединенные упругий и вязкий элементы.
Работа отдельных элементов зависит от скорости нагрузки общего элемента.
Для упругой деформации выполняется закон Гука:
Откуда
Скорость упругой деформации будет:
(1)
Для вязкой деформации:
тогда скорость вязкой деформации будет:
(2)
Общая скорость вязко-упругой деформации равна сумме скоростей упругой и вязкой деформаций.
(3)
Это есть дифференциальное уравнение модели Максвелла.
Вывод уравнения ползучести биоткани. Если к модели приложить силу, то пружина мгновенно удлиняется, а поршень движется с постоянной скоростью. Таким образом, на данный модели реализуется явление ползучести. Если F=const, то возникающее напряжение σ=const, т.е. тогда из уравнения (3) получим:
, отсюда
уравнение ползучести биоткани.
Представим график ползучести:
Вывод уравнения релаксации напряжения в биотканях.
Если модель Максвелла растянуть и закрепить, то пружина начнет сокращаться. Со временем будет происходить релаксация, т.е. уменьшение напряжения. Если ε=const, то тогда уравнение (3) примет вид:
Решаем дифференциальное уравнение:
где σ0 - начальное напряжение.
Потенцируем:
Откуда
- уравнение релаксации напряжения
Представим график релаксации напряжения.
г) Модель Фойгта представляет собой параллельно соединенные упругий и вязкий элементы. Эта модель характерна для полимеров.