Минимизация функционала упругой энергии для всей молекулярной цепи
Задача минимизации функционала упругой энергии для одного конечного элемента цепи РНК состоит в нахождении таких неизвестных α
i
и β
i
, что построенный в пункте 3.3
функционал упругой энергии W
достигает своего минимума. Таким образом, используя метод конечных элементов (см. [6]), мы можем провести минимизацию функционала упругой энергии для всей молекулярной цепи.
Будем поочерёдно производить минимизацию каждого конечного элемента (об их задании сказано в пункте 4.1
), начиная от элемента, содержащего в себе точку-начало отсчёта натурального параметра s
(для всей молекулярной цепи). Для этого при минимизации построенного в пункте 3.3
функционала упругой энергии W
будем использовать метод наискорейшего спуска (см. [4]), но также нам необходимо учесть граничныеусловия, возникающие в «точках перегиба»:
непрерывность молекулярной цепи: координаты X
,
Y
и
Z
начальной точки (N+1)-го элемента должна совпадать с координатами конечной точки N-го элемента;
гладкость молекулярной цепи: значения кривизн на конце N-го элемента и на начале (N+1)-го элемента должны совпадать.
Таким образом, всего будет 4
граничных условия. Эти условия мы будем учитывать с помощью метода множителей Лагранжа (см. [4]), реализовав, таким образом, градиентный метод с ограничениями
типа равенств, которые для данного метода будут иметь следующий вид:
где xN
-1
,
yN
-1
,
zN
-1
- полученные на предыдущем (то есть (N-1)-ом) шаге значения координат, s
’
соответствует «последней» точке конечного элемента. В качестве стартовой точки для метода Лагранжа возьмём точку {1;1; .;1}
. Таким образом, мы будем проводить минимизацию для всех конечных элементов, пока не дойдём до последнего. У каждого из них будут свои параметры α
i
и β
i
, вычислив которые, мы сможем определить координаты x
,
y
,
z
для любой точки в молекулярной цепи как:
Эти интегралы, как и интегралы в ограничениях из метода Лагранжа, не вычисляются аналитически, но их значения в заданных точках можно получить с помощью численных методов. В данной работе был использован метод Симпсона (см. [4]). Для вычисления антиградиента в методе наискорейшего спуска был использован метод неопределённых коэффициентов (см. [4]).
Таким образом, мы находим минимум функционала упругой энергии для всей молекулярной цепи, а также координаты всех образующих её нуклеотидов. По найденным данным мы можем также найти координаты концов перемычек, соответствующих Уотсон-Криковским связям:
Рис. 8: Нахождение координат перемычек
Исходя из входных параметров задачи, а также значений, полученных в результате минимизации упругой энергии, для конструкции на рисунке 8 нам будут известны координаты точек A